Bài tập ứng dụng

Bài tập ứng dụng

1. Định lí côsin trong tam giác

ĐỊNH LÍ

 

CHỨNG MINH:

 

HỆ QUẢ

Ví dụ 1. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc 60o. Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí ? (1 hải lí ≈ 1,852 km).

Giải. (h. 45) Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam

giác ABC có AB = 40, AC = 30,  .

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có a2 = b2 + c2 – 2bc cosA.

= 302 + 402 – 2.30.40.cos60o

= 900 + 1600 – 1200 = 1300.

Vậy 

Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí.

Hình 45

Ví dụ 2. Các cạnh của tam giác ABC là a = 7, b = 24, c = 23. Tính góc A.

Giải. (h. 46) Theo hệ quả định lí côsin ta có

 Từ đó ta được  

 

Hình 46

2. Định lí sin trong tam giác

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c nội tiếp đường tròn (O ; R).

Nếu góc A vuông (h. 47) thì a = 2R và dễ thấy a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC. (1)

Bây giờ xét trường hợp góc A không vuông. Ta chứng minh các công thức (1) vẫn đúng.

Gọi (O, R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vẽ đường kính BA’ của đường tròn.

 ta có:

 (góc nội tiếp chắn cung BC)

Hình 48

Từ đó ta có định lí

Ví dụ 3. Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi (h. 49). Biết rằng độ cao AB bằng 70m, phương nhìn ACtạo với phương nằm ngang góc 30^o , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15^o30’. Hỏi ngọn núi đó cao bao nhiêu mét so với mặt đất ?

Giải. (h. 49) Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ABC có

 

 Theo định lí sin ta có

hay

Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất. Tam giác vuông ACH có cạnh CH đối diện với góc 30^o nên

 

 

Vậy ngọn núi cao khoảng 135m.

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có a = 4, b = 5, c = 6. Chứng minh rằng sinA – 2sinB + sinC = 0.
Giải. Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Từ định lí sin, ta có

AL Kashi

Định lí cosin trong tam giác còn được gọi là định lí An Ka-si (AL Kashi) – tên của nhà thiên văn học và toán học Trung Á, một trong những nhà bác học lớn cuối cùng của trường phái Xa-mác-kan (Samarkand) đầu thế kỉ XV).

                3. Tổng bình phương hai cạnh và độ dài đường trung tuyến của tam giác 

Bài toán:  Cho tam giác ABC. Gọi m_a , m_b , m_c là độ dài các đường trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. 
công thức trung tuyến

 

chứng minh:

 Gọi I là trung điểm của BC, AI = m (h. 50). tính AB² + AC² theo a và m.

 

Hình 50

 ta có

             4. Diện tích tam giác
Với tam giác ABC, ta kí hiệu h_a, h_b, h_c là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB ; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác 

là nửa chu vi tam giác.
Ta có thể tính diện tích S của tam giác ABC bằng các công thức sau đây

 

(Công thức (5) gọi là công thức Hê-rông).
Chứng minh:

(2):
 Tính h_a trong tam giác AHB theo cạnh c và góc B, rồi thay vào công thức  

  để được công thức (2)

+ Trường hợp H nằm trong BC:

 

Hình 52a
Xét tam giác AHC vông tại  H

Ta có: 

Vậy: 

+ Trường hợp H nằm ngoài BC:

Xét tam giác AHC vông tại  H

ta có 

vậy

(3)

Áp dụng định lí sin ta có:

(4)  (h. 53)
Gọi (O ; r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

 S là tổng diện tích các tam giác OBC, OCA, OAB.

Ta có:

Hình 53

(5): công thức Hê-rông

- Người ta gọi tam giác có độ dài các cạnh là ba số nguyên liên tiếp và có diện tích bằng một số nguyên là tam giác Hê-rông.

            5. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước.

            Ví dụ 5. Cho tam giác ABC. Biết a = 17,4 ;  

Tính góc A và các cạnh b, c của tam giác đó.

Giải. (h. 54)

Ta có

Theo định lí sin ta có 

 Ví dụ 6. Cho tam giác ABC. Biết a = 49,4 ; b = 26,4 ; 

Tính hai góc A, B và cạnh c.

Giải. (h. 55)

Theo định lí côsin ta có
c² = a² + b² – 2abcosC = (49,4) ² + (26,4) ² – 2.49,4.26,4.cos47^o20’ ≈ 1369,58.

 

Hình 55

Ví dụ 7. Cho tam giác ABC. Biết a = 24 ; b = 13 ; c = 15. Tính các góc A, B, C.
Giải. (h. 56)
Theo hệ quả của định lí côsin, ta có 

Vì cạnh AC ngắn nhất nên góc B nhọn. Suy ra

Hình 56

           Ví dụ 8. Dường dây cao thế nối thẳng từ vị trí A đến vị trí B dài10km, từ vị trí A đến vị trí C dài 8km, góc tạo bởi hai đường dây trên bằng 75^o. Tính khoảng cách từ vị trí B đến vị trí C (h. 57).

Hình 57

Giải. Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có

a² = b² + c² – 2bc.cosA

≈ 8² + 10² – 2.8.10.cos75^o ≈ 123.

Suy ra a ≈ 11 (km).

Vậy khoảng cách từ B đến C xấp xỉ 11 km.

           Ví dụ 9. (h. 58) Một người ngồi trên tàu hỏa đi từ ga A đến ga B. Khi tàu đỗ ở ga A, qua ống nhòm người đó nhìn thấy một tháp C. Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng đi của tàu một góc 60^o. Khi tàu đỗ ở ga B, người đó nhìn lại vẫn thấy tháp C, hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng ngược với hướng đi của tàu một góc 45^o. Biết rằng đoạn đường tàu nối thẳng ga A với ga B dài 8 km. Hỏi khoảng cách từ ga A đến tháp C là bao nhiêu?

Hình 58

Giải. Xét tam giác ABC. Ta có
C= 180⁰ – (60⁰ + 45⁰) = 75⁰

 

Vậy khoảng cách từ ga A đến tháp C xấp xỉ 6 km.

           Ví dụ 10: Cho tam giác ABC. Biết BC = a = 17,4;   

 Tính góc A và các cạnh AC = b,

AB = c của tam giác đó.

Giải. 

tương tự C= 16,5

Ví dụ 11: Cho tam giác ABC có cạnh a = 49,4 cm, b= 26,4cm và  

 . Tính cạnh AB=c va góc A, góc B

do đó

Ví dụ 12: Cho tam giác ABC có cạnh a = 24 cm, b= 13cm và  c= 15cm. Tính diện tích S của tam giác và bán kính r của đường tròn nội tiếp.

Theo định lí cosin ta có:

Vậy góc A là góc tù và ta có:  

Ta có: 

Áp dụng công thức  

Bài tập ứng dụng:

Tính khoảng cách từ điểm A trên bờ đến điểm C là gốc cây giữa đầm lầy ?

            Cách giải: - Lấy điểm B trên bờ. Đo được khoảng cách AB = c = 40m. Dùng giá kế đo được góc B, A; suy ra góc C của tam giác ABC. Áp dụng định lí sin tìm được AC.

Bài giải:

Áp dụng định lí sin ta có

nên